मान लीजिए f(x) = intlimits_0^x {{e^{ - {t^2}} | vedclass

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Question

(D) फलन $g(t) = e^{-t^2}$ पर विचार करें। $t \in (0, x)$ के लिए,फलन $g(t)$ निरंतर ह्रासमान है क्योंकि $t > 0$ के लिए $g'(t) = -2t e^{-t^2} < 0$ है।चूंक

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$f(x) > \frac{x}{2}\left( {1 + {e^{ - {x^2}}}} \right)$

Vedclass · Answer

(D) फलन $g(t) = e^{-t^2}$ पर विचार करें। $t \in (0, x)$ के लिए,फलन $g(t)$ निरंतर ह्रासमान है क्योंकि $t > 0$ के लिए $g'(t) = -2t e^{-t^2} चूंकि $g(t)$ अंतराल $(0, x)$ पर एक निरंतर ह्रासमान अवतल फलन है,इसलिए $0$ से $x$ तक वक्र $y = e^{-t^2}$ के नीचे का क्षेत्रफल बिंदुओं $(0, 0), (x, 0), (x, e^{-x^2}),$ और $(0, 1)$ द्वारा निर्मित समलंब (trapezoid) के क्षेत्रफल से अधिक है।इस समलंब का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes (	ext{समांतर भुजाओं का योग}) 	imes (	ext{ऊंचाई}) = \frac{1}{2} (1 + e^{-x^2}) 	imes x$ द्वारा दिया जाता है।इसलिए,$f(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt > \frac{x}{2} (1 + e^{-x^2})$.

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} $ सभी $x > 0$ के लिए है। तो सभी $x > 0$ के लिए:

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$\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = $ . . . . . . .

समाकल $\int \limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{x} \, dx}{(1+x)(1+3 x)(3+x)}$ का मान है:

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2}(x^{2}+3) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

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